Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x²+y²=r²和直線l：x=a（其中r和a均為常數(shù)，且0＜r＜a），M為l上一動(dòng)點(diǎn)，A₁，A₂為圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線MA₁，MA₂與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P、Q．
（1）若r=2，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），求直線PQ方程；
（2）求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過r=2，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），求出A₁（-2，0），A₂（2，0）．然后推出P、Q坐標(biāo)，即可求直線PQ方程；
（2）證明法一：設(shè)A₁（-r，0），A₂（r，0）．設(shè)M（a，t），求出直線MA₁的方程，直線MA₁的方程，通過直線與圓的方程聯(lián)立，求出直線PQ的方程，然后說明經(jīng)過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)．
法二：設(shè)得A₁（-r，0），A₂（r，0）．設(shè)M（a，t），求出直線MA₁的方程，與圓C的交點(diǎn)P設(shè)為P（x₁，y₁）．求出直線MA₂的方程，與圓C的交點(diǎn)Q設(shè)為Q（x₂，y₂）．點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲線[（a+r）y-t（x+r）][（a-r）y-t（x-r）]=0上，有P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在圓C上，求出公共弦方程，說明經(jīng)過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）當(dāng)r=2，M（4，2），則A₁（-2，0），A₂（2，0）．
直線MA₁的方程：x-3y+2=0，解得．…（2分）
直線MA₂的方程：x-y-2=0，解得Q（0，-2）． …（4分）
由兩點(diǎn)式，得直線PQ方程為：2x-y-2=0． …（6分）
（2）證法一：由題設(shè)得A₁（-r，0），A₂（r，0）．設(shè)M（a，t），
直線MA₁的方程是：y=（x+r），
直線MA₁的方程是：y=（x-r）．…（8分）
解得．…（10分）
解得． …（12分）
于是直線PQ的斜率k_PQ=，
直線PQ的方程為． …（14分）
上式中令y=0，得x=，是一個(gè)與t無關(guān)的常數(shù)．
故直線PQ過定點(diǎn)． …（16分）
證法二：由題設(shè)得A₁（-r，0），A₂（r，0）．設(shè)M（a，t），
直線MA₁的方程是：y=（x+r），與圓C的交點(diǎn)P設(shè)為P（x₁，y₁）．
直線MA₂的方程是：y=（x-r）；與圓C的交點(diǎn)Q設(shè)為Q（x₂，y₂）．
則點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲線[（a+r）y-t（x+r）][（a-r）y-t（x-r）]=0上，…（10分）
化簡(jiǎn)得  （a²-r²）y²-2ty（ax-r²）+t²（x²-r²）=0．          ①
又有P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在圓C上，圓C：x²+y²-r²=0．②
①-t²×②得 （a²-r²）y²-2ty（ax-r²）-t²（x²-r²）-t²（ x²+y²-r²）=0，
化簡(jiǎn)得：（a²-r²）y-2t（ax-r²）-t² y=0．
所以直線PQ的方程為（a²-r²）y-2t（ax-r²）-t² y=0．      ③…（14分）
在③中令y=0得 x=，故直線PQ過定點(diǎn)．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：不考查直線與圓的位置關(guān)系，直線系方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化思想．