Question

若定義在R上的減函數(shù)y=f（x），對(duì)任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，則當(dāng)1≤a≤4時(shí)，

b

a

的取值范圍是（　　）

• A．[-

  1

  4

  ，1）
• B．[-

  1

  4

  ，1]
• C．[-

  1

  2

  ，1]
• D．（-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

分析：根據(jù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，得不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）等價(jià)于（a-b）（a+b-2）≥0．作出aob直角坐標(biāo)系如圖，畫出不等式組

(a-b)(a+b-2)≥0 1≤a≤4

表示的平面區(qū)域，將動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)并結(jié)合直線的斜率公式，可得

b

a

的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
∴任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，
即a²-2a≥b²-2b，化簡(jiǎn)得（a-b）（a+b-2）≥0
以a、b分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，建立aob直角坐標(biāo)系，
作出不等式組

(a-b)(a+b-2)≥0 1≤a≤4

表示的平面區(qū)域，
如右圖所示的△ABC，其中A（1，1），B（4，4），C（4，-2）
動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，得

b

a

=k，等于直線PO的斜率
當(dāng)P與線段AB上某點(diǎn)重合時(shí)，

b

a

達(dá)到最大值，（

b

a

）_max=1
當(dāng)P與點(diǎn)C重合時(shí)，

b

a

達(dá)到最小值，（

b

a

）_min=

-2

4

=-

1

2

由此可得，當(dāng)1≤a≤4時(shí)，

b

a

的取值范圍是[-

1

2

，1]
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的單調(diào)性為載體，求解不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍，著重考查了函數(shù)單調(diào)性、二元一次不等式表示的平面區(qū)域和直線的斜率公式等知識(shí)，屬于中檔題．