Question

若正三棱柱的底面邊長為3，側棱長為，則該棱柱的外接球的表面積為________．

Answer 1

36π
分析：根據三棱柱的底面邊長及高，先得出棱柱底面外接圓的半徑及球心距，進而求出三棱柱外接球的球半徑，代入球的表面積公式即可得到棱柱的外接球的表面積．
解答：由正三棱柱的底面邊長為3，
得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r=，
又由正三棱柱的側棱長為，則球心到圓O的球心距d=，
根據球心距，截面圓半徑，球半徑構成直角三角形，
滿足勾股定理，我們易得球半徑R滿足：
R²=r²+d²=9，R=3，
∴外接球的表面積S=4πR²=36π．
故答案為：36π．
點評：本題考查的是棱柱的幾何特征及球的體積和表面積，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，其中根據已知求出三棱柱的外接球半徑是解答本題的關鍵．