Question

16．已知函數(shù)f（x）=2sin（-2x-$\frac{2π}{3}$）．
（I）當x∈（0，$\frac{π}{3}$）時，求函數(shù)f（x）的值域．
（II）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用誘導公式化簡可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），通過0＜x＜$\frac{π}{3}$可知-$\frac{π}{3}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，進而可知f（x）在（0，$\frac{π}{3}$）上是增函數(shù)，計算即得結(jié)論；
（II）通過（I）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間可知$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，進而化簡即得結(jié)論．

解答 解：（I）f（x）=2sin（-2x-$\frac{2π}{3}$）=-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$+π）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（-2x-$\frac{2π}{3}$）在（0，$\frac{π}{3}$）上是增函數(shù)，
∴f（0）＜f（x）＜f（$\frac{π}{3}$），
又∵f（0）=2sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，f（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴所求值域為（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
（II）由（I）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，得：$\frac{5π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{11π}{6}$+2kπ，
∴$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．