Question

用數(shù)學歸納法證明a^n＋1＋(a＋1)^2n－1(n∈N^*)能被a²＋a＋1整除．

Answer 1

證明　(1)當n＝1時，a²＋(a＋1)＝a²＋a＋1可被a²＋a＋1整除．

(2)假設(shè)n＝k(k∈N^*且k≥1)時，

a^k＋1＋(a＋1)^2k－1能被a²＋a＋1整除，

則當n＝k＋1時，

a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1＝a·a^k＋1＋(a＋1)²(a＋1)^2k－1＝a·a^k＋1＋a·(a＋1)^2k－1＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1＝a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1，由假設(shè)可知a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]能被a²＋a＋1整除，(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1也能被a²＋a＋1整除，

∴a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1也能被a²＋a＋1整除，

即n＝k＋1時命題也成立，

∴對任意n∈N^*原命題成立．