Question

17．已知函數f（x）的定義域為R．?a，b∈R，若此函數同時滿足：
①當a+b=0時，有f（a）+f（b）=0；
②當a+b＞0時，有f（a）+f（b）＞0，
則稱函數f（x）為Ω函數．
在下列函數中：
①y=x+sinx；
②y=3^x-（$\frac{1}{3}$）^x；
③y=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{-\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$
是Ω函數的為①②．（填出所有符合要求的函數序號）

Answer 1

分析 容易判斷函數①②為奇函數，且在定義域R上為增函數，可設y=f（x），容易得出這兩函數滿足Ω函數的兩條，而函數③是奇函數，不是增函數，這樣顯然不能滿足Ω函數的第②條，這樣即可找出為Ω函數的函數序號．

解答 解：容易判斷①②③都是奇函數；
y′=1-cosx≥0，y′=ln3（3^x+3^-x）＞0；
∴①②都在定義域R上單調遞增；
③在定義域R上沒有單調性；
設y=f（x），從而對于函數①②：a+b=0時，a=-b，f（a）=f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）=0；
a+b＞0時，a＞-b；
∴f（a）＞f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）＞0；
∴①②是Ω函數；
對于函數③，a+b＞0時，得到a＞-b；
∵f（x）不是增函數；
∴得不到f（a）＞f（-b），即得不出f（a）+f（b）＞0．
故答案為：①②．

點評 考查奇函數的定義，會判斷一個函數是否為奇函數，根據導數符號判斷函數單調性的方法，函數單調性的運用，反比例函數的單調性，函數單調性定義．