(理)在平面直角坐標系xOy中,向量
j
=(0,1)
,△OFQ的面積為2
3
,且
OF
FQ
=m
,
OM
=
3
3
OQ
+
j

(Ⅰ)設(shè)4<m<4
3
,求向量
OF
FQ
的夾角的取值范圍;
(II)設(shè)以O(shè)為中心,對稱軸在坐標軸上,以F為右焦點的橢圓經(jīng)過點M,且|
OF
|=c,m=(
3
-1)c2
.是否存在點Q,使|
OQ
|
最短?若存在,求出此時橢圓的方程;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)設(shè)向量
OF
FQ
的夾角為θ,利用△OFQ的面積為2
3
,可得|
OF
|•|
FQ
|=
4
3
sinθ
,所以有cosθ=
OF
FQ
|
OF
|•|
FQ
|
=
msinθ
4
3
,得tanθ=
4
3
m
.利用4<m<4
3
,可得1<tanθ<
3
,從而可求夾角θ的取值范圍;(II)設(shè)Q(x0,y0),則
FQ
=(x0-c,y0),
OF
=(c,0),用c表示出|
OQ
|
,利用基本不等式求最小值,從而可得
OQ
=(2
3
,±2
3
)
,利用
OM
=
3
3
OQ
+
j
可得
OM
=
3
3
(2
3
,2
3
)+(0,1)=(2,3)

OM
=
3
3
(2
3
,-2
3
)+(0,1)=(2,-1)
,由此可求出橢圓的方程.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)向量
OF
FQ
的夾角為θ
∵△OFQ的面積為2
3
,
2
3
=
1
2
|
OF
|
|
FQ
|•sinθ,
|
OF
|•|
FQ
|=
4
3
sinθ
,
由cosθ=
OF
FQ
|
OF
|•|
FQ
|
=
msinθ
4
3
,得tanθ=
4
3
m

4<m<4
3

∴1<tanθ<
3

∵θ∈[0,π]
∴夾角θ的取值范圍是(
π
4
,
π
3

(II)設(shè)Q(x0,y0),則
FQ
=(x0-c,y0),
OF
=(c,0).
OF
FQ
=(x0-c,y0)•(c,0)=(x0-c)c=m=(
3
-1)c2x0=
3
c

∵△OFQ的面積為2
3
,
S△OFQ=
1
2
|
OF
|•|y0|=2
3
y0
4
3
c

|
OQ
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)
2
+(
4
3
c
)
2
2
3
c•
4
3
c
=2
6

∴當且僅當
3
c=
4
3
c
,即c=2時,|
OQ
|
取最小值2
6
,此時,
OQ
=(2
3
,±2
3
)

OM
=
3
3
OQ
+
j

OM
=
3
3
(2
3
,2
3
)+(0,1)=(2,3)

OM
=
3
3
(2
3
,-2
3
)+(0,1)=(2,-1)

橢圓長軸2a=
(2-2)2+(3-0)2
+
(2+2)2+(3-0)2
=8∴a=4,b2=12

2a=
(2-2)2+(-1-0)2
+
(2+2)2+(-1-0)2
=1+
17
∴a=
1+
17
2
,b2=
1+
17
2

故所求橢圓方程為
x2
16
+
y2
12
=1
x2
9+
17
2
+
y2
1+
17
2
=1
點評:本題以向量為載體,考查向量的夾角,考查基本不等式,考查橢圓的標準方程,計算較繁,需要細心.
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