Question

已知f(x)＝ax³＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值．

(2)證明對(duì)任意x₁、x₂∈(－1，1)，不等式|f(x₁)－f(x₂)|＜4恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解析：由奇函數(shù)的定義，應(yīng)用f(－x)＝－f(x)，x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d， 　　∴d＝0，因此，f(x)＝ax3＋cx，(x)＝3ax2＋c． 　　由條件f(1)＝－2為f(x)的極值，必有(1)＝0，故a＋c＝－2，2a＋c＝0． 　　∴a＝1，c＝－3．因此，f(x)＝x3－3x．(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 　　(－1)＝(1)＝0．當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上為增函數(shù)； 　　當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，(x)＜0，故f(x)為減函數(shù)； 　　當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，(x)＞0，故f(x)為增函數(shù)． 　　∴f(x)在x＝－1處取得極大值，極大值為f(－1)＝2． 　　(2)證明：由(1)知f(x)＝x3－3x，x∈[－1，1]是減函數(shù)，且f(x)在[－1，1]上的最大值M＝f(－1)＝2． 　　f(x)在[－1，1]上的最小值m＝f(1)＝－2， 　　∴對(duì)任意的x1、x2∈(－1，1)，恒有|f(x1)－f(x2)|＜M－m＝2－(－2)＝4．