Question

（1）如圖1所示，請證明拋物線的一個幾何性質(zhì)：過拋物線y²=4x的焦點F任作直線l與拋物線交于A，B兩點，則在x軸上存在定點M（-1，0），使直線MF始終是∠AMB的平分線；
（2）如圖2所示，對于橢圓

x2

5

+y2=1，設(shè)它的左焦點為F；請寫出一個類似地性質(zhì)；并證明其真假．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），則由方程組

y=k(x-1) y2=4x

得關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂，x₁x₂，從而得直線MA，MB的斜率之和為0，即得直線MF平分∠AMB．
（2）同（1）類似，過橢圓

x2

5

+y2=1的左焦點F（-2，0）任作直線l與橢圓交于A，B兩點，則在x軸上存在定點M，使直線MF始終平分∠AMB；證明與（1）相同，求出點M的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k不存在時，顯然成立）
則

y=k(x-1) y2=4x

得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0∴x₁x₂=1，
∵kMA+kMB=

yA-0

xA+1

+

yB-0

xB+1

=

k(xA-1)

xA+1

+

k(xB-1)

xB+1

=

k(2xAxB-2)

(xA+1)(xB+1)

=0；
∴直線MF始終是∠AMB的平分線．
（2）過橢圓

x2

5

+y2=1的左焦點F（-2，0）任作直線l與橢圓交于A，B兩點，則在x軸上存在定點M(-

5

2

，0)，使直線MF始終是∠AMB的平分線；
證明如下：設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），（k不存在時，顯然成立）；
由

y=k(x+2) x2 5 +y2=1

，得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0；∴

x1+x2= -20k2 1+5k2 x1x2= 20k2-5 1+5k2

，設(shè)M（t，0），則kMA+kMB=

yA-0

xA-t

+

yB-0

xB-t

=

k(xA+2)

xA-t

+

k(xB+2)

xB-t

=

k[2x1x2+(2-t)(x1+x2)-4t]

(x1-t)(x2-t)

；
將根與系數(shù)的關(guān)系式代入，得4t+10=0，即得點M(-

5

2

 ，0)．

點評：本題考查了直線與拋物線、橢圓的綜合應(yīng)用問題，也考查了類比推理的數(shù)學(xué)方法；解題時應(yīng)靈活應(yīng)用，細(xì)心解答．