Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-m|-mx，其中m為常數(shù)且m＜0．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（2）試探求f（x）存在最小值的充要條件，并求出相應(yīng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）將f（x）＜0轉(zhuǎn)化為|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，再對(duì)參數(shù)m分類討論解不等式．
（2）函數(shù)可變?yōu)閒（x）=

(1-m)x-m，x≥m -(1+m)x+m，x＜m

，運(yùn)用單調(diào)性據(jù)函數(shù)的形式判斷出-（1-m）≤0，結(jié)合m＜0得出答案．

解答：解：（1）由f（x）＜0得，|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，
即

(1-m)x＜m (1+m)x＞m

．
①當(dāng)m=-1時(shí)，

2x＜-1 0＞-1

?x＜-

1

2

；
②當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，

x＜ m 1-m x＞ m 1+m

?

m

1+m

＜x＜

m

1-m

；
③當(dāng)m＜-1時(shí)，

x＜ m 1-m x＜ m 1+m

?x＜

m

1-m

；
綜上所述，當(dāng)m＜-1時(shí)，不等式解集為{x|x＜

m

1-m

}；
當(dāng)m=-1時(shí)，不等式解集為{x|x＜-

1

2

}；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，不等式解集為{x|

m

1+m

＜x＜

m

1-m

}．
（2）f（x）=

(1-m)x-m，x≥m -(1+m)x+m，x＜m

，
∵m＜0，∴1-m＞0，f（x）在[m，+∞）上單調(diào)遞增，要使函數(shù)f（x）存在最小值，
則f（x）在（-∞，m）上是減函數(shù)或常數(shù)，
∴-（1+m）≤0即m≥-1，又m＜0，
∴-1≤m＜0．
故f（x）存在最小值的充要條件是-1≤m＜0，且f（x）_min=f（m）=-m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解不等式，分類討論的思想，在（2）中要根據(jù)函數(shù)的形式判斷出函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．難度較高．