Question

已知橢圓C：的離心率為，一個焦點為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線交橢圓C于A，B兩點，若點A，B都在以點M（0，3）為圓心的圓上，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用離心率為，一個焦點為，可求a，c的值，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設將直線l的方程代入橢圓C的方程，確定線段AB的中點為D，利用點A，B都在以點（0，3）為圓心的圓上，得k_MD•k=-1，由此可求k的值．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，則．              …（1分）
由，得 ，從而b²=a²-c²=4．    …（4分）
所以，橢圓C的方程為．                    …（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將直線l的方程代入橢圓C的方程，消去y得：4（1+3k²）x²-60kx+27=0．             …（7分）
由△=3600k²-16（1+3k²）×27＞0，得，且． …（9分）
設線段AB的中點為D，則，．…（10分）
由點A，B都在以點（0，3）為圓心的圓上，得k_MD•k=-1，…（11分）
即 ，解得 ，符合題意．  …（13分）
所以 ．                          …（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，正確求橢圓方程是關鍵．