Question

設(shè)ω＞0，m＞0．若函數(shù)f（x）=msin

ωx

2

cos

ωx

2

在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上單調(diào)遞增，則w的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先求得函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可得在ω＞0時(shí)，區(qū)間[-

π

2ω

，

π

2ω

]是函數(shù)f（x）=

m

2

sinωx的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合已知中函數(shù)f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上單調(diào)遞增，推出一個(gè)關(guān)于ω的不等式組，解不等式組，即可求出實(shí)數(shù)ω的取值范圍．

解答： 解：由二倍角公式可得：f（x）=msin

ωx

2

cos

ωx

2

=

m

2

sinωx，
∵m＞0，ω＞時(shí)，
∴當(dāng)x=-

π

2ω

，函數(shù)取得最小值，x=

π

2ω

函數(shù)取得最大值，
∴區(qū)間[-

π

2ω

，

π

2ω

]是函數(shù)f（x）=

m

2

sinωx的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，
∵函數(shù)y=2sinωx（ω＞0）在[-

π

3

，

π

3

]上單調(diào)遞增，
∴有，

- π 2ω ≤- π 3 π 2ω ≥ π 3

∴解得：0＜ω≤

3

2

，
故答案為：0＜ω≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，得到ω＞0時(shí)，區(qū)間[-

π

2ω

，

π

2ω

]是函數(shù)f（x）=

m

2

sinωx的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而結(jié)合已知條件構(gòu)造一個(gè)關(guān)于ω的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵屬于中檔題．