Question

已知函數(shù)f（x）=x，函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（I）求λ的最大值；
（II）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意由于f（x）=x，所以函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx=λx+sinx，又因為該函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)，所以可以得到λ的范圍；
（II）由于g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立?[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sinl，解出即可；
（III）利用方程與函數(shù)的關(guān)系可以構(gòu)造成兩函數(shù)圖形的交點個數(shù)加以分析求解．
解答：解：（I）∵f（x）=x，
∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴g'（x）=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，λ≤-1，故λ的最大值為-1．
（II）由題意[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sinl
∴只需-λ-sinl＜t²+λt+1
∴（t+1）λ+t²+sin+1＞0（其中λ≤-1），恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（λ≤-1），
則，
∴，而t²-t+sin1＞0恒成立，
∴t＜-1
又t=-1時-λ-sinl＜t²+λt+1
故t≤-1（9分）

（Ⅲ）由-2ex+m．
令f₁（x）=-2ex+m，
∵f₁′（x）=，
當x∈（0，e）時，f₁′（x）≥0，
∴f₁（x）在（0，e]上為增函數(shù)；
當x∈[e，+∞）時，f₁′（x）≤0，
∴f₁（x）在[e，+∞）為減函數(shù)；
當x=e時，[f₁（x）]_max=f₁（e）=，
而f₂（x）=（x-e）²+m-e²，
∴當m-e²＞，即m＞時，方程無解；
當m-e²=，即m=時，方程有一個根；
當m-e²＜時，m＜時，方程有兩個根．（14分）
點評：此題考查了導函數(shù)，利用導函數(shù)求解恒成立問題，還考查了方程的根的個數(shù)等價于相應(yīng)的兩函數(shù)的交點的個數(shù)，即函數(shù)與方程的解之間的關(guān)系．