Question

經(jīng)觀察，人們發(fā)現(xiàn)鮭魚在河中逆流勻速行進(jìn)時(shí)所消耗的能量為E=kv³t，其中v為鮭魚在靜水中的速度，t為行進(jìn)的時(shí)間（單位：h），k為大于零的常數(shù)．如果水流的速度為3km/h，鮭魚在河中逆流行進(jìn)100km．
（1）將鮭魚消耗的能量E表示為v的函數(shù)；
（2）v為何值時(shí)，鮭魚消耗的能量最少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相對(duì)速度的定義，求出鮭魚逆流行駛的速度為v-3，從而表示出鮭魚鮭魚逆流勻速行進(jìn)100km所用的時(shí)間，再代入公式E=kv³t，即可求解；
（2）由（1）已經(jīng)求出鮭魚在逆流中消耗的能量E關(guān)于v的解析式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可；

解答：解：（1）鮭魚逆流勻速行進(jìn)100km所用的時(shí)間為t=

100

v-3

．   …（2分）
所以E=kv³t=kv³

100

v-3

=

100kv3

v-3

（v∈（3，+∞））．       …（6分）
（2）∵E=

100kv3

v-3

∴E′=100k 

3v2(v-3)-v3

(v-3)2

=100k

2v2(v-4.5)

(v-3)2

．        …（10分）
令E′=0，解得v=4.5或v=0（舍去）．
因?yàn)閗＞0，v＞3，所以當(dāng)v∈（3，4.5）時(shí)，E′＜0，
當(dāng)v∈（4.5，+∞）時(shí)，E′＞0．
故E=

100kv3

v-3

在（3，4.5）上單調(diào)遞減，在（4.5，+∞）上單調(diào)遞增．…（13分）
所以，當(dāng)v=4.5時(shí)，E取得極小值也是最小值．
即v=4.5km/h時(shí)，鮭魚消耗的能量最小．             …（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題一物理學(xué)為背景，其實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的應(yīng)用，第一問要理解鮭魚在靜水中的速度和逆流中的速度之間的關(guān)系；第二問主要是正確對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，本題難度中等；