Question

已知三棱錐O-ABC的頂點(diǎn)O（0，0，0），A，B，C三點(diǎn)分別在x軸、y軸、z軸上，且|OA|=2|OB|=3|OC|=6，求AC邊長的中線長．

Answer 1

考點(diǎn)：空間向量的夾角與距離求解公式

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：由已知得|OA|=6，|OB|=3，|OC|=2，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，所求中線長為|BD|，由A，B，C三點(diǎn)分別在x軸、y軸、z軸的正、負(fù)半軸，分8種情況進(jìn)行討論，由此能求出AC邊長的中線長．

解答： 解：∵三棱錐O-ABC的頂點(diǎn)O（0，0，0），
A，B，C三點(diǎn)分別在x軸、y軸、z軸上，且|OA|=2|OB|=3|OC|=6，
∴|OA|=6，|OB|=3，|OC|=2，
設(shè)D是AC的中點(diǎn)，所求中線長為|BD|，
①若A（6，0，0），B（0，3，0），C（0，0，2），
則D（3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
②若A（6，0，0），B（0，3，0），C（0，0，-2），
則D（3，0，-1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
③若A（6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，2），
則D（3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
④若A（-6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，-2），
則D（-3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
⑤若A（6，0，0），B（0，3，0），C（0，0，-2），
則D（3，0，-1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
⑥若A（-6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，-2），
則D（-3，0，-1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
⑦若A（-6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，2），
則D（-3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
⑧若A（-6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，-2），
則D（-3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

．
綜上，AC邊長的中線長為

19

．

點(diǎn)評：本題考查三角形的一條中線長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意空間兩點(diǎn)間距離公式和分類討論思想的合理運(yùn)用．