Question

已知雙曲線過點（4，），漸近線方程為y=±x，圓C經過雙曲線的一個頂點和一個焦點且圓心在雙曲線上，則圓心到該雙曲線的中心的距離是    ．

Answer 1

【答案】分析：求出雙曲線方程，可得雙曲線的頂點、焦點，從而可得圓心坐標，即可求圓心到該雙曲線的中心的距離．
解答：解：由題意，設雙曲線方程為
∵雙曲線過點（4，），∴λ=1
∴雙曲線的方程為，
∴雙曲線的頂點為（±3，0），焦點為（±5，0）．
又圓心在雙曲線上，所以圓C應過左頂點、左焦點或右頂點、右焦點，即圓心的橫坐標為±4，
設圓心的縱坐標為m，則-=1，
所以m²=，
所以所求的距離為=．
故答案為：．
點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．