Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ω-

π

3

）-1（ω＞0，x∈R），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式并求f（x）的對稱中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f（B）=1，S_△ABC=

3 3

4

，且a+c=3+

3

，求邊長b．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（ωx+

π

6

）-1，再根據(jù)周期性求得ω，從而求得它的對稱中心．
（2）在△ABC中，由f（B）=1求得 B，根據(jù)S_△ABC=

1

2

•ac•sinB，求得 ac，再利用a+c=3+

3

余弦定理可得b的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ω-

π

3

）-1=

3

sinωx-cosωx-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1，
根據(jù)函數(shù)的周期為π=

2π

ω

，可得ω=2，故函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1；
令2x+

π

6

=kπ，k∈z，求得x=

kπ

2

-

π

12

，故函數(shù)的對稱中心為（

kπ

2

-

π

12

，-1），k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（B）=2sin（2B+

π

6

）=1，∴B=

π

6

．
∵S_△ABC=

1

2

•ac•sinB=

3 3

4

，∴ac=3

3

．
再由a+c=3+

3

，利用余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-

3

ac
=(3+

3

)2-2×3

3

-

3

×3

3

=3，
∴b=

3

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查三角函數(shù)的周期性、對稱性、余弦定理，屬于中檔題．．