Question

已知A、B、C是直線l上的不同的三點(diǎn)，O是直線外一點(diǎn)，向量

OA

、

OB

、

OC

滿足

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，記y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，證明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意，

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A、B、C三點(diǎn)共線，
∴

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1
∴y=

3

2

x2+ln(2+3x)
（2）∵x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，則a＞lnx
又由（1）得，f/(x)=

3

2+3x

+3x，x∈[

1

6

，

1

3

]，則f/(x)-3x=

3

2+3x

＞0
∴要證原不等式成立，只須證：a＞lnx+ln

3

2+3x

（*）
設(shè)h(x)=lnx+ln

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

．
∵h/(x)=

2+3x

3x

•

3(2+3x)-3x•3

(2+3x)2

=

2

x(2+3x)

＞0
∴h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上均單調(diào)遞增，則h（x）有最大值h(

1

3

)=ln

1

3

，
又因?yàn)?span mathtag="math" >a＞ln

1

3

，所以a＞h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]恒成立．
∴不等式（*）成立，即原不等式成立．
（3）方程f（x）=2x+b即

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，
∴?/(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x+1)(3x-1)

2+3x

當(dāng)x∈(0，

1

3

)時(shí)，?′（x）＜0，?（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

1

3

，1)時(shí)，?′（x）＞0，?（x）單調(diào)遞增，
∴?（x）有極小值為?(

1

3

)=ln3-

1

2

即在[0，1]上的最小值．
又?（0）=ln2，?(1)=ln5-

1

2

，又ln5-

1

2

-ln2=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0
∴l(xiāng)n5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有兩個(gè)不同實(shí)根，必須使ln3-

1

2

＜b≤ln2．