中心在坐標原點，焦點在y軸上的橢圓，其一個焦點與短軸兩端點的加線互相垂直，且此焦點與橢圓上的點之間的距離最小值為
10
-
5
，則橢圓的標準方程為
y2
10
+
x2
5
=1
y2
10
+
x2
5
=1
．
分析：可設所求橢圓的標準方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），由題意可得a-c=
10
-
5
，a=
2
c，從而可求其方程．
解答：解：設橢圓的標準方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），
∵該橢圓的一個焦點與橢圓上的點之間的距離最小值為
10
-
5
，
∴a-c=
10
-
5
①，
又一個焦點與短軸兩端點的加線互相垂直，
∴a=
2
c②，
由①②可得a=
10
，c=
5
，
∴b2=a2-c2=5，
∴所求橢圓的標準方程為：
y2
10
+
x2
5
=1．
故答案為：
y2
10
+
x2
5
=1．
點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓的標準方程，關鍵在于理解題意，得到關于a、c的關系式，著重考查待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）D為橢圓C的右頂點，設A是橢圓上異于D的一動點，作AD的垂線交橢圓與點B，求證：直線AB過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1、F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，
MA1
=2
A1F1
．
（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點M的直線l'與橢圓交于C、D兩點，若
OC
•
OD
=0，求直線l'的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過A(-2，0)，B(1，
32
)兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若橢圓E的左、右焦點分別是F、H，過點H的直線l：x=my+1與橢圓E交于M、N兩點，則△FMN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)一模）已知橢圓G的中心在坐標原點，焦點在x軸上，一個頂點為A（0，-1），離心率為
6
3
．
（I）求橢圓G的方程；
（II）設直線y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N．當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•延慶縣一模）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B與拋物線x2=4y的焦點重合，離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l與橢圓交于M、N兩點，且橢圓C的右焦點F恰為△BMN的垂心（三條高所在直線的交點），若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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