Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4．
（1） 若f（x）在處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2） 在（Ⅰ）的條件下，若關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3） 若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求出a的值，（2）在（Ⅰ）的條件下，若關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)即求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最值；（3）解法一：存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0即尋找f（x）_max＞0是變量a的范圍；解法二：存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＞0成立，即即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解，分離參數(shù)，即求a＞g（x）_min，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值．
解答：（1）f'（x）=-3x²+2ax，由題意得，解得a=2，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，f'（x）=-3x²+4x，
令f'（x）=0，則x₁=0，（舍去）．f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）		（0，1）	1
f'（x）		-		+
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_極小值=f（0）=-4，如圖構(gòu)造f（x）在[-1，1]上的圖象．
又關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則-4＜m≤-3，即m的取值范圍是（-4，-3]．
（3）解法一：因存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＞0成立，
故只需要f（x）的最大值f（x）_max＞0即可，
∵f（x）=-x³+ax²-4，∴．
①若a≤0，則當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
∵f（0）=-4＜0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜-4＜0，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，不存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＞0成立．
②當(dāng)a＞0時(shí)f（x），f'（x）隨x的變化情況如下表：

x
f'（x）	+		-
f（x）	↗		↘

∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，，由得a＞3．
綜上得a＞3，即a的取值范圍是（3，+∞）．
解法二：根據(jù)題意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式在（0，+∞）上有解即可．
令，只需要a＞g（x）_min
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時(shí)“=”成立．
故a＞3，即a的取值范圍是（3，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和最值問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．其中問題（3）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．