Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4

5

．
（Ⅰ）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）欲證平面MBD⊥平面PAD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面MBD內一直線與平面PAD垂直，而根據(jù)平面PAD與平面ABCD垂直的性質定理可知BD⊥平面PAD；
（II）過P作PO⊥AD交AD于O，根據(jù)平面PAD與平面ABCD垂直的性質定理可知PO⊥平面ABCD，從而PO為四棱錐P-ABCD的高，四邊形ABCD是梯形，根據(jù)梯形的面積公式求出底面積，最后用錐體的體積公式進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：在△ABD中，
由于AD=4，BD=8，AB=4

5

，
所以AD²+BD²=AB²．故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD．

（Ⅱ）解：過P作PO⊥AD交AD于O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．因此PO為四棱錐P-ABCD的高，
又△PAD是邊長為4的等邊三角形．因此PO=

3

2

×4=2

3

．
在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，
所以四邊形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為

4×8

4 5

=

8 5

5

，
此即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為S=

2 5 +4 5

2

×

8 5

5

=24．
故VP-ABCD=

1

3

×24×2

3

=16

3

．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及棱錐的體積等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．