Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù)．
（1）用表示；
（2）,若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（3）若數(shù)列的前項和，記數(shù)列的前項和，求．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析，；（3） ．

解析試題分析：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)得出切線斜率，寫出點(diǎn)處切線方程，在切線方程中令，就可求出切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即；（2）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，關(guān)鍵是找到與的關(guān)系，按題設(shè)，它們由聯(lián)系起來，，把用（1）中的結(jié)論代換，變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/df/a/mcci42.png" style="vertical-align:middle;" />的式子，它應(yīng)該與是有聯(lián)系的，由此就可得出結(jié)論；（3）按照要求，首先求出數(shù)列的通項公式，當(dāng)然要利用（），直接等于，數(shù)列實(shí)際上是一個等差數(shù)列，那么數(shù)列就是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項相乘得到的新數(shù)列，其前項的求法是乘公比錯位相減法，即，記等比數(shù)列的公比是，則有
，兩式相減，即，這個和是容易求得的．
試題解析：（1）由題可得，所以在曲線上點(diǎn)處的切線方程為，即
令，得，即
由題意得，所以      5′
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/e/1gqht2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
即，
所以數(shù)列為等比數(shù)列故    10′
（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以數(shù)列的通項公式為，故數(shù)列的通項公式為
  ①
①的  ②
①②得
故       16′
考點(diǎn)：（1）函數(shù)圖象的切線；（2）等比數(shù)列的定義；（3）乘公比錯位相減法求數(shù)列的和．