Question

若關(guān)于x的方程x2-zx+1-

15

i=0（其中z∈C）有實(shí)數(shù)根，在使得復(fù)數(shù)z的模取到最小時(shí)，該方程的解為

{2，

1- 15 i

2

}或{-2，

-1+ 15 i

2

}

．

Answer 1

分析：當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，根據(jù)z的模的解析式，利用基本不等式求出z的模時(shí)，實(shí)數(shù)x=±2，求出對(duì)應(yīng)的z值，從而得到對(duì)應(yīng)的方程，解方程求得該方程的解．

解答：解：當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，由方程x2-zx+1-

15

i=0（其中z∈C）可得
z=

x2+1- 15 i

x

=x+

1

x

-

15

x

i．
它的模為

(x+ 1 x )2+ 15 x2

=

x2+ 16 x2 +2

≥2

10

，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=4，即 x=±2時(shí)，取等號(hào)．
故滿(mǎn)足條件的復(fù)數(shù)z=

5

2

-

15

2

i，或 z=-

5

2

+

15

2

i．
當(dāng)z=

5

2

-

15

2

i 時(shí)，方程即x2-(

5

2

-

15

2

i)x+1-

15

i = 0，
此時(shí)，方程的一個(gè)根為x=2，另一個(gè)根為 x=

1- 15 i

2

．
當(dāng) z=-

5

2

+

15

2

i  時(shí)，方程即 x2-(-

5

2

+

15

2

i)x+1-

15

i = 0．
此時(shí)，方程的一個(gè)根為 x=-2，另一個(gè)根為 x=

-1+ 15 i

2

．
綜上，該方程的解為{2，

1- 15 i

2

}，或{-2，

-1+ 15 i

2

}．
故答案為：{2，

1- 15 i

2

}，或{-2，

-1+ 15 i

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查虛數(shù)系數(shù)的一元二次方程的解法，復(fù)數(shù)模的定義和求法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．