Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+6x²-9x．若過點P（-1，m）可作曲線y=f（x）的切線有三條，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：設過點P（-1，m）的切線切曲線于點（x₀，y₀），
則切線的斜率k=f'（x₀）=-3x₀²+12x₀-9…（2分）
所以切線方程為y=（-3y₀²+12x₀-9）（x+1）+m…（4分）
故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀ …（5分）
要使過P可作曲線y=f（x）的切線有三條，
則方程（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀ 有三個不同實數(shù)根…（7分）
∴m=2x₀³-3x₀²-12x₀+9
令g（x）=2x₀³-3x₀²-12x₀+9
則g'（x）=6x²-6x-12=6x（x-1）（x-2）…（10分）
當x=-1，2為g（x）的極值大、極小值點，
又g（x）有極大值16；g（x）有極小值-11…（12分）
故滿足條件的m的取值范圍-11＜m＜16 …（14分）
分析：先設過點P（-1，m）的切線切曲線于點（x₀，y₀），將過點P（-1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線轉化為：方程（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀ 有三個不同實數(shù)根，記g（x）=2x₀³-3x₀²-12x₀+9，g'（x）=6x²-6x-12=6x（x-1）（x-2），下面利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的極值點，從而求得m的范圍．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．