Question

O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，

AO

=λ

AB

+μ

AC

，則λ+2μ的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：B連接AC中點(diǎn)D，并設(shè)AO所在直線交BD于E點(diǎn)，

AO

=k

AE

=λ

AB

+2μ

AD

，因?yàn)锽，E，D三點(diǎn)共線，所以便有

λ

k

+

2μ

k

=1，所以得到λ+2μ=k，顯然k＞0，并且O趨向C時(shí)，k逐漸增大，當(dāng)O與C重合時(shí)k=2，所以0＜k＜2．

解答： 解：如圖，取AC中點(diǎn)D，并連接BD，設(shè)AO所在直線和BD交于E，并設(shè)

AO

=k

AE

；
∴k

AE

=λ

AB

+2μ

AD

；
∴

AE

=

λ

k

AB

+

2μ

k

AD

；
∵B，D，E三點(diǎn)共線；
∴

λ

k

+

2μ

k

=1；
∴λ+2μ=k；
∵O在△ABC內(nèi)；
∴k＞0，而當(dāng)O趨向于C點(diǎn)時(shí)，k不斷增大，且k趨向2；
∴0＜k＜2；
∴λ+2μ的取值范圍為（0，2）．
故答案為：（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：考查共線向量基本定理，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，若

OB

=λ

OA

+μ

OC

，則λ+μ=1，要弄清O點(diǎn)的位置和k的取值的關(guān)系．