Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且x∈（-1，3]時(shí)，f（x）=

cos π 2 x，  x∈(-1，1] 1-|x-2|，  x∈(1，3]

，則函數(shù)g（x）=4f（x）-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、5
• B、4
• C、3
• D、6

Answer 1

分析：由條件函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x）推出函數(shù)的最小正周期是4，畫(huà)出y=f（x）的圖象，令g（x）=0，則f（x）=

x

4

，函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=f（x）的圖象與y=

x

4

的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)圖象的觀察與分析即可得到結(jié)論．

解答：解：函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），
則有f（-x）=f（4-x），即f（x+4）=f（x），
∴f（x）是最小正周期為4的函數(shù)，
令g（x）=0，則f（x）=

x

4

，
先作出y=f（x）在（-1，3]上的圖象，即一個(gè)周期的圖象，
然后將它向左、向右平移4k（k是正整數(shù)）個(gè)單位，并作出直線y=

x

4

，
觀察在y軸的右邊，當(dāng)x=4時(shí)，y=1，得到1個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＞4時(shí)，直線在上方，無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)0＜x＜4時(shí)，顯然有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)x＜-2時(shí)，y=f（x）的圖象恒在上方，無(wú)交點(diǎn)．
故y=f（x）的圖象與直線y=

x

4

的交點(diǎn)有5個(gè)，
即函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性及應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)及判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法，通過(guò)兩圖象找交點(diǎn)個(gè)數(shù)，正確畫(huà)好圖象，并通過(guò)圖象分析，是解題的關(guān)鍵．