Question

已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)．
（1）求證cosA是有理數(shù)；
（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．

Answer 1

（1）證明：設(shè)三邊長分別為a，b，c，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∵a，b，c是有理數(shù)，b²+c²-a²是有理數(shù)，分母2bc為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，
∴

b2+c2-a2

2bc

必為有理數(shù)，
∴cosA是有理數(shù)．
（2）①當(dāng)n=1時，顯然cosA是有理數(shù)；
當(dāng)n=2時，∵cos2A=2cos²A-1，因?yàn)閏osA是有理數(shù)，∴cos2A也是有理數(shù)；
②假設(shè)當(dāng)n≤k（k≥2）時，結(jié)論成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理數(shù)．
當(dāng)n=k+1時，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，cos(k+1)A=coskAcosA-

1

2

[cos(kA-A)-cos(kA+A)]，cos(k+1)A=coskAcosA-

1

2

cos(k-1)A+

1

2

cos(k+1)A，
解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A
∵cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理數(shù)，∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理數(shù)，
∴cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理數(shù)．
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立．
綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．