Question

如圖所示，放置在水平面上的組合體由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁與正三棱錐B-ACD組成，其中，AB⊥BC，AB=，BB₁=2．
（1）求直線CA₁與平面ACD所成角的正弦值；
（2）在線段AC₁上是否存在點(diǎn)P，使B₁P⊥平面ACD？若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BC、BB₁、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量，進(jìn)而可利用夾角公式求出直線CA₁與平面ACD所成角的正弦；
（2）假設(shè)存在，令=m=（m，2m，-m），利用，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由題意，AB⊥平面BB₁C₁C，CD?平面BB₁C₁C，
∴D，B，B₁三點(diǎn)共線，
∵三棱錐是正三棱錐，
∴AB=BC=BD，
以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BC，BB₁，BA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，），C（，0，0），D（0，-，0），B₁（0，2，0），C₁（，2，0），A₁（0，2，）
設(shè)直線CA₁與平面ACD所成角為θ
∵△ACD的重心G（），∴=（），
∴取=（1，-1，1）為平面ACD的法向量
∵=（-，2，），
∴取=為直線CA₁的方向向量
∴sinθ=|cos＜＞|===；
（2）令=m=（m，2m，-m），
則=
∵，∴
∴，無解
∴不存在滿足條件的點(diǎn)P．
點(diǎn)評(píng)：本題以組合體為載體，考查線面角，考查線面垂直，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系．