Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（I）若對(duì)?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（II）證明：x∈（0，+∞）時(shí)exlnx≥1-

2ex-1

x

．

Answer 1

分析：（I）分離出參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

x2+3+2xlnx

x

，通過導(dǎo)數(shù)求出h（x）的單調(diào)性，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小值，得到a的范圍；
（II）將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為xlnx≥

x

ex

-

2

e

，求不等式左邊的函數(shù)的最小值，和不等式右邊函數(shù)的最大值，得到左邊的最小值等于右邊的最大值，不等式得證．

解答：解：（Ⅰ）由2f（x）≥g（x）得2xlnx≥-x²+ax-3，由于x＞0
則a≤

x2+3+2xlnx

x

，設(shè)h（x）=

x2+3+2xlnx

x

，
h′(x)=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
因而h（1）最小為4，那么a≤4；
（II）要證明，exlnx≥1-

2ex-1

x

，即證xlnx≥

x

ex

-

2

e

，
∵f′（x）=lnx+1=0時(shí)x=

1

e

，f（x）的最小值為f（

1

e

)=-

1

e

=-

1

e

，
設(shè)φ（x）=

x

ex

-

2

e

，
φ′（x）=

ex-xex

e2x

=0時(shí)x=1，φ（x）的最大值為φ（1）=-

1

e

f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，即xlnx≥

x

ex

-

2

e

，
因而exlnx≥1-

2ex-1

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，一般的方法是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；證明不等式常通過構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值，屬于一道難題．