Question

知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h(x)=x+

1

x

+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出定義域、值域．
（2）若g（x）=f（x）+

a

x

，且g（x）在區(qū)間（0，2]上的值不小于6，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)f（x）圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)（-x，2-y）在h（x）的圖象上（3分）
∴2-y=-x+

1

-x

+2，
∴y=x+

1

x

，即f(x)=x+

1

x

（6分）
f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x≠0），值域?yàn)椋簕x|x≤0或x≥4}
（2）由題意  g(x)=x+

a+1

x

，且g(x)=x+

a+1

x

≥6
∵x∈（0，2]
∴a+1≥x（6-x），即a≥-x²+6x-1，（9分）
令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，q（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8，
∴x∈（0，2]時(shí)，q（x）_max=7（11分）
∴a≥7（13分）
方法二：q′（x）=-2x+6，x∈（0，2]時(shí)，q′（x）＞0
即q（x）在（0，2]上遞增，
∴x∈（0，2]時(shí)，q（x）_max=7
即  a≥x²-1在x∈（0，2]時(shí)恒成立．
∵x∈（0，2]時(shí)，（x²-1）_max=3
∴a≥3
∴a≥7