Question

函數(shù)y=ax²+（2a-1）x-3在區(qū)間[-

3

2

，2]上的最大值是3，則實數(shù)a=

 

．

Answer 1

分析：因二次項的系數(shù)是參數(shù)，故分三種情況求解；a=0時，函數(shù)y=-x-3是一次函數(shù)且為減函數(shù)，求出最大值與題意不符故舍去，當(dāng)a＞0和a＜0時函數(shù)是二次函數(shù)，求出對稱軸再根據(jù)對稱軸與定區(qū)間的位置關(guān)系進行二次分類，再由二次函數(shù)的開口方向和對稱軸與定區(qū)間的位置關(guān)系求出最大值，注意驗證范圍．

解答：解：如a=0時，函數(shù)y=-x-3在區(qū)間[-

3

2

，2]上的最大值為-

3

2

，不符合題意，故舍去；
若a＞0，則函數(shù)圖象對稱軸是x=-1+

1

2a

，
由于區(qū)間[-

3

2

，2]的中點是

1

4

，則按以下進行討論：
當(dāng)-1+

1

2a

≤

1

4

時，即a≥

2

5

，函數(shù)的最大值是f（2）=a•2²+（2a-1）•2-3=3，解得a=1；
當(dāng)

1

4

＜-1+

1

2a

＜2時，即

1

6

＜a＜

2

5

，函數(shù)的最大值是f（-

3

2

）=a•(

3

2

)2-(2a-1)•

3

2

-3=3，
解得a=-6，故舍去．
當(dāng)-1+

1

2a

≥2時，即0＜a≤

1

6

，函數(shù)的最大值是f（-

3

2

）=a•(

3

2

)2-(2a-1)•

3

2

-3=3，
解得a=-6，故舍去．
若a＜0，-1+

1

2a

＜0，當(dāng)-1+

1

2a

≥-

3

2

時，即a≤-1，
函數(shù)的最大值是f（-1+

1

2a

）=a（-1+

1

2a

）（-1+

1

2a

）+（2a-1）（-1+

1

2a

）-3=3，
解得4a²+20a+1=0，即a=-

5

2

+

6

或a=-

5

2

-

6

，故a=-

5

2

-

6

；
當(dāng)-1+

1

2a

＜-

3

2

時，即-1＜a＜0，
函數(shù)的最大值是f（-

3

2

）=a•(

3

2

)2-(2a-1)•

3

2

-3=3，解得a=-6，故舍去．
綜上，a的值為：1或-

5

2

-

6

．

點評：本題考查了含有參數(shù)的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)是：二次項的系數(shù)與零關(guān)系，根據(jù)對稱軸與定區(qū)間的位置關(guān)系；再結(jié)合二次函數(shù)的圖象求出對應(yīng)的最值，注意范圍的驗證．