Question

已知函數(shù)f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=

3

，f(C)=0，若b=2a，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換公式對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最小值與用求周期的公式求周期．
（Ⅱ）利用三角恒等變換公式對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡求角，再利用余弦定理建立方程與b=2a聯(lián)立求出a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1
則f（x）的最小值是-2，最小正周期是T=

2π

2

=π；（7分）
（Ⅱ）f(C)=sin(2C-

π

6

)-1=0，則sin(2C-

π

6

)=1，
∵0＜C＜π∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

∴2C-

π

6

=

π

2

，C=

π

3

，
由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos

π

3

，即3=a²+b²-ab，
又∵b=2a解得a=1，b=2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，解本題的關(guān)鍵是利用余弦定理建立關(guān)于參數(shù)的方程，本題中涉及到了三角恒等變換，求三角函數(shù)的最小值，周期，知識(shí)性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意準(zhǔn)確利用知識(shí)變形求值．