Question

12．已知△ABC是邊長為l的等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到三棱錐A-BCF，其中BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）證明：DE∥平面BCF；
（2）證明：CF⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （1）利用平行線等分線段定理可求$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，進而可證DE∥BC，從而可判斷DE∥平面BCF．
（2）由已知可證AF⊥CF，利用勾股定理可證CF⊥BF，即可證明CF⊥平面ABF．

解答 證明：（1）在等邊△ABC中，AD=AE，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，
∴DE∥BC，
∵DE在平面BCF外，BC在平面BCF內(nèi)，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等邊△ABC中，F(xiàn)是BC的中點，
所以AF⊥BC，折疊后，AF⊥CF，
∵在△BFC中，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BF=CF=$\frac{1}{2}$，
∴BC²=BF²+CF²，因此CF⊥BF，
又AF，BF相交于F，
∴CF⊥平面ABF．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．