Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足，且．如果存在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，求證：．

Answer 1

解：（1），∴y=f（x）=x³-x+1（x≠0）
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
所以代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n            ①
又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2）②
①-②得 
則
（2）∵∴
∵n≥1時(shí)，是關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)
所以，而顯然成立，所以原式成立 
分析：（1）先根據(jù)函數(shù)y=f（x）滿足，且．可的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）． 從而利用疊乘可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，利用函數(shù)的單調(diào)性可證．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，考查數(shù)列問題，考查疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求和，由一定的綜合性．