已知函數(shù)f(x)=loga
1-mx
x-1
（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當x∈（n，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)a與n的值．
（1）∵函數(shù)f(x)=loga
1-mx
x-1
（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1．
（2）由（1）及題設知：f(x)=loga
x+1
x-1
，
設t=
x+1
x-1
=
x-1+2
x-1
=1+
2
x-1
，
∴當x1＞x2＞1時，t1-t2=
2
x1-1
-
2
x2-1
=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)

∴t1＜t2．
當a＞1時，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．
∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

（3）由題設知：函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①當n＜a-2≤-1時，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設知：f（x）在為增函數(shù)，由其值域為（1，+∞）知
loga
1+n
n-1
=1
a-2=-1
（無解）；
②當1≤n＜a-2時，有a＞3．由（1）及（2）題設知：f（x）在（n，a-2）為減函數(shù)，由其值域為（1，+∞）知
n=1
loga
a-1
a-3
=1

得a=2+
3
，n=1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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