Question

已知函數(shù)y=

-x2+7x-12

的定義域是A，函數(shù)y=

a

x2+1

（a＞0）在[0，2]上的值域?yàn)锽．若A⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)被開方數(shù)不小于0，解二次不等式求出集合A，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)y=

a

x2+1

（a＞0）在[0，2]上的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值和值域求出B，結(jié)合A⊆B構(gòu)造關(guān)于a的不等式組可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：若使函數(shù)y=

-x2+7x-12

的解析式有意義
-x²+7x-12≥0
解得3≤x≤4
即A=[3，4]
∵y=x²+1的圖象是開口朝上，且以y軸為對稱軸的拋物線
故函數(shù)在[0，2]上為增函數(shù)
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=

a

x2+1

在[0，2]上為減函數(shù)
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最大值a，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值

a

5

，
故B=[

a

5

，a]
由A⊆B
故

a 5 ≤3 a≥4

，解得4≤a≤15
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4，15]

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的值域，集合關(guān)系中的參數(shù)取值為載體考查了二次不等式及不等式組的解法，其中根據(jù)已知構(gòu)造相應(yīng)的不等式是解答的關(guān)鍵．