Question

已知x＞0，y＞0，且，求x＋y的最小值．

Answer 1

答案：16
解析：

解法1：∵， ∴． ∵x＞0，y＞0，∴． 當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時(shí)，取等號(hào)． 又，∴x=4，y=12． ∴當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x＋y取最小值16． 解法2：由，得． ∵x＞0，y＞0，∴y＞9． ． ∵y＞9，∴y－9＞0，∴． 當(dāng)且僅當(dāng)，即y=12時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，x=4．∴當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x＋y取最小值16． 解法3：由，得y＋9x=xy，∴(x－1)(y－9)=9． ∴． 當(dāng)且僅當(dāng)x－1=y－9時(shí)取等號(hào)．又， ∴x=4，y=12． ∴當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x＋y取最小值16．

提示：

要求x＋y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值．這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形． 本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察學(xué)會(huì)變形．另外解法2，通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)另一個(gè)變量范圍的影響．