設(shè)函數(shù)f(x)=,函數(shù)g(x)=ax2+5x-2a.
(1)求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若對(duì)于任意x1∈[0,1],總存在x∈[0,1],使得g(x)=f(x1)成立,求a的取值范圍.
【答案】分析:對(duì)于(1)有函數(shù)式化簡(jiǎn)后用換元法求值域.
對(duì)于(2)由題意可知對(duì)于任意x1∈[0,1],總存在x∈[0,1],使得g(x)=f(x1)成立,等價(jià)于f(x)的值域[0,2]是函數(shù)y=g(x)在x∈[0,1]的值域的子集.
解答:解:(1)y===2+,
令x-1=t,則x=t+1,t∈[-1,0],y=2+,
當(dāng)t=0時(shí),y=2;當(dāng)t∈[-1,0),y=2+,
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得y∈[0,2),故函數(shù)在[0,1]上的值域是[0,2];
(2)f(x)的值域是[0,2],要g(x)=f(x1)成立,則[0,2]⊆{y|y=g(x),x∈[0,1]}
①當(dāng)a=0時(shí),x∈[0,1],g(x)=5x∈[0,5],符合題意;
②當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)g(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-<0,故當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)為增函數(shù),則g(x)的值域是[-2a,5-a],由條件知[0,2]⊆[-2a,5-a],∴⇒0<a≤3;
③當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)g(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=->0.
當(dāng)0<-<1,即a<-時(shí),g(x)的值域是[-2a,]或[5-a,],
由-2a>0,5-a>0知,此時(shí)不合題意;當(dāng)-≥1,即-≤a<0時(shí),g(x)的值域是[-2a,5-a],
由[0,2]⊆[-2a,5-a]知,由-2a>0知,此時(shí)不合題意.
綜合①②③得0≤a≤3.
點(diǎn)評(píng):此題(1)考查考查了有解析式選擇換元法求函數(shù)值域.
此題(2)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及判斷含有字母參數(shù)集合關(guān)系時(shí)分類(lèi)討論的思想.
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13、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)的自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)表格如下:
則f[g(1)]的值為
1

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)若b=-12,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)如果函f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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由函數(shù)y=f(x)確定數(shù)列{an},an=f(n),函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)能確定數(shù)列bn,bn=f-1(n)若對(duì)于任意n∈N*都有bn=an,則稱(chēng)數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“自反函數(shù)列”
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=
px+1
x+1
,若由函數(shù)f(x)確定的數(shù)列{an}的自反數(shù)列為{bn},求an
(2)已知正整數(shù)列{cn}的前項(xiàng)和sn=
1
2
(cn+
n
cn
).寫(xiě)出Sn表達(dá)式,并證明你的結(jié)論;
(3)在(1)和(2)的條件下,d1=2,當(dāng)n≥2時(shí),設(shè)dn=
-1
anSn2
,Dn是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和,且Dn>loga(1-2a)恒成立,求a的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若存在與x無(wú)關(guān)的正常數(shù)M,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,則稱(chēng)f(x)為“有界泛函”,給出以下函數(shù):(1)f(x)=x2;(2)f(x)=2x;(3)f(x)=
x
x2+x+1
;(4)f(x)=xsinx.其中是“有界泛函”的個(gè)數(shù)為( 。
A、0B、1C、2D、3

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)成立,則函數(shù)值f(-1),f(1),f(2),f(5)中,最小的一個(gè)不可能是( 。

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