Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（8-x-）在區(qū)間[1，2]上恒有意義．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值的差M表示成實數(shù)a的函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為函數(shù)f（x）=log_a（8-x-）在區(qū)間[1，2]上恒有意義故?x∈[1，2]，有8-x-恒成立轉(zhuǎn)化為 4a＜x（8-x）對?x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]_min然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷求最小值即可．
（Ⅱ）由于f（x）為復(fù)合函數(shù)因此要利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來判斷f（x）的單調(diào)性．由（1）知a∈
因此要分0＜a＜1，來討論故令g（x）=（1≤x≤2）則故導(dǎo)函數(shù)的符號取決于的大小，所以要分，1＜，a＜1，2＞2即a＞1
三種情況來討論只要判斷出單調(diào)性就可求解了．
解答：（本小題滿分13分）
解：（1）?x∈[1，2]，有8-x-
故 4a＜x（8-x），令h（x）=x（8-x）
∴函數(shù)在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，當(dāng)x=1時有最小值7，故4a＜7，由a＞0且a≠1
因此a∈
（Ⅱ）令g（x）=（1≤x≤2）則，，
①當(dāng)時g^′（x）≤0，等號成立的條件時當(dāng)且僅當(dāng)x=1且，此時g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)所以f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，故M=f（2）-f（1）=
②當(dāng)1＜，即a＜1時，
因此當(dāng)g^′（x）＞0，g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
    當(dāng)時，g^′（x）＜0，g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
故

因此M=
③當(dāng)2＞2即a＞1時g^′（x）＞0，g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)
故M=f（2）-f（1）=
綜上所述當(dāng)或1＜a時M=，當(dāng)時M=，當(dāng)時M=．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求閉區(qū)間上的最值．第一問考查了恒成立的問題關(guān)鍵是將恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求最大最小值問題故將?x∈[1，2]，有8-x-恒成立轉(zhuǎn)化為 4a＜x（8-x）對?x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]_min才是解題的關(guān)鍵所在．第二問主要考查了利用同增異減這一法則來判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，而求解的關(guān)鍵是要判斷g（x）=（1≤x≤2）的單調(diào)性即判斷的符號故需對a進行討論．