Question

已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax²+（2﹣a）x．
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，證明：f'（ x₀）＜0．

Answer 1

解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f'（x）==﹣，
①若a＞0，則由f'（x）=0，得x=，且當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（II）設(shè)函數(shù)g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），則g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g'（x）==，
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g'（x）＞0，而g（0）=0，所以g（x）＞0，
故當(dāng)0＜x＜時(shí)，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）由（I）可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
故a＞0，從而f（x）的最大值為f（），且f（）＞0，
不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，則0＜x₁＜＜x₂，
由（II）得，f（﹣x₁）=f（）＞f（x₁）=f（x₂）=0，又f（x）在（，+∞）單調(diào)遞減，
∴﹣x₁＜x₂，于是x₀=，
由（I）知，f'（ x₀）＜0．