設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-a|,x∈R
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≤2的解集.
(2)若f(x)≥a在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.
解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x-2|+|x-1|,
由x-2=0,得x=2;由x-1=0得x=1.
①當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x-2+x-1=2x-3≤2,解得2≤x≤
;
②當(dāng)1≤x<2時(shí),f(x)=2-x+x-1=1≤2,成立,故1≤x<2;
③當(dāng)x<1時(shí),f(x)=2-x+1-x=3-2x≤2,解得
.
綜上所述不等式f(x)≤2的解集為{x|
}.
(2)|x-2|+|x-a|表示的是在數(shù)軸上到2,a兩點(diǎn)距離,距離最小值就是|a-2|,
若f(x)≥a對x∈R恒成立,
則只要滿足|a-2|≥a,解得a≤1.
∴實(shí)數(shù)a的最大值是1.
分析:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x-2|+|x-1|,由此利用零點(diǎn)分段討論法能求出不等式f(x)≤2的解集.
(2)|x-2|+|x-a|表示的是在數(shù)軸上到2,a兩點(diǎn)距離,距離最小值就是|a-2|,若f(x)≥a對x∈R恒成立,則只要滿足|a-2|≥a,由此能求出實(shí)數(shù)a的最大值.
點(diǎn)評:本題考查不等式的解集的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)的最大值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意零點(diǎn)分段討論法和絕對值的含義的合理運(yùn)用.