Question

若函數(shù)f（x）滿足下列條件：在定義域內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質M；反之，若x₀不存在，則稱函數(shù)f（x）不具有性質M．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=2^x具有性質M，并求出對應的x₀的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)h（x）=lg

a

x2+1

具有性質M，求a的取值范圍；
（Ⅲ）試探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax²+bx+c（a≠0）、③y=

k

x

（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log_ax（a＞0且a≠1）的函數(shù)，指出哪些函數(shù)一定具有性質M？并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數(shù)f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），解出x₀，從而求解；
（Ⅱ）根據h（x）具有性質M，即存在x₀，使得h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），代入得到一個關于x₀，的方程，其中含有參數(shù)a，并對a進行討論，從而求出a的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)y=f（x）恒具有性質M，轉化為關于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解，因為①y=kx+b（k≠0）、②y=ax²+bx+c（a≠0）、③y=

k

x

（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log_ax（a＞0且a≠1）的函數(shù)，把其代入進行一一驗證是否具有性質M；

解答：解：（Ⅰ）證明：f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得2^x₀+1=2^x₀+2得：…（2分）
即2^x₀=2，解得x₀=1，
∴函數(shù)f（x）=2^x具有性質M．…（4分）
（Ⅱ）解：h（x）的定義域為R，且可得a＞0，
∵h（x）具有性質M，
∴存在x₀，使得h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），代入得lg

a

x 2 0 +2

=lg

a

x0+1

+lg

a

2

化為2（

x

2 0

+1）=a(x0+1)2+a
整理得：（a-2）

x

2 0

+2ax₀+2a-2=0有實根…（5分）
①若a=2，得x₀=-

1

2

，滿足題意
②若a≠2，則要使（a-2）

x

2 0

+2ax₀+2a-2=0有實根，只需滿足△≥0，
即a²-6a+4≤0，解得a∈[3-

5

，3+

5

]
∴a∈[3-

5

，2）∪（2，3+

5

]…（8分）
綜合①②，可得a∈[3-

5

，3+

5

]…（9分）
（Ⅲ）解：函數(shù)y=f（x）恒具有性質M，即關于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
①若f（x）=kx+b，則方程（*）可化為k（x+1）+b=kx+b+k+b，
整理，得0×x+b=0，
當b≠0時，關于x的方程（*）無解
∴f（x）=kx+b不恒具備性質M；
②若f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則方程（*）可化為2ax+a+b=0，解得x--

a+b

2a

．
∴函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）一定具備性質M．
③若f（x）=

k

x

（k≠0），則方程（*）可化為x²+x+1無解
∴f（x）=

k

x

（k≠0）不具備性質M；
④若f（x）=a^x，則方程（*）可化為a^x+1=a^x+a，化簡得（a-1）a^x=a即a^x=

a

a-1

當0＜a＜1時，方程（*）無解
∴f（x）=

k

x

（k≠0），不恒具備性質M；
⑤若f（x）=log_ax，則方程（*）可化為log_a（x+1）=log_ax，化簡得x+1=x
顯然方程無解；
∴f（x）=

k

x

（k≠0），不具備性質M；
綜上所述，只有函數(shù)f（x）=ax2+bx+c一定具備性質M．…（14分）

點評：此題是一道綜合性比較強的題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質的應用，出現(xiàn)了新定義，這是高考的熱點，圍繞這個新定義出了三問，但是都不是很難，運用了分類討論的思想，是一道中檔題；