Question

已知b＞a，下列值：∫

b a

f（x）dx，∫

b a

|f（x）|dx，|∫

b a

f(x)dx|的大小關(guān)系為（　　）

• A．|∫

  b a

  f(x)dx|≥∫

  b a

  |f（x）|dx≥∫

  b a

  f（x）dx
• B．∫

  b a

  |f（x）|dx≥|∫

  b a

  f（x）dx|≥∫

  b a

  f（x）dx
• C．∫

  b a

  |f（x）|dx=|∫

  b a

  f（x）dx|=∫

  b a

  f（x）dx
• D．∫

  b a

  |f（x）|dx=|∫

  b a

  f（x）dx|≥∫

  b a

  f（x）dx

Answer 1

分析：根據(jù)定積分的幾何意義，分別討論函數(shù)y=f（x）及函數(shù)y=|f（x）|的圖象在x軸上下方的可能情況，然后由微積分基本定理分析三個(gè)定積分對(duì)應(yīng)曲邊梯形的面積的大小．

解答：解：當(dāng)函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖象在x軸上方，定積分就是求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]中圖線下包圍的面積，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所圍成圖形的面積，此時(shí)∫

b a

f（x）dx=∫

b a

|f（x）|dx=|∫

b a

f(x)dx|；
當(dāng)函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖象在x軸下方，定積分就是求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]中圖線上方包圍的面積的負(fù)值，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所圍成圖形的面積的負(fù)值，此時(shí)函數(shù)y=|f（x）|的圖象在x軸上方，所以

∫

b a

|f(x)|dx=

|∫

b a

f(x)dx|＞0，

∫

b a

f(x)dx＜0；
當(dāng)函數(shù)y=f（x）的圖象在[a，b]上x(chóng)軸的上下方都有，不防設(shè)在[a，c）上在x軸上方，在（c，b]上在x軸下方，
則

∫

b a

f(x)dx為上方的面積減去下方的面積，|

∫

b a

f(x)dx|為上方的面積減去下方面積的絕對(duì)值，

∫

b a

|f(x)|dx為上方的面積加上下方的面積；
若函數(shù)y=f（x）的原函數(shù)為常數(shù)函數(shù)y=0，則∫

b a

f（x）dx=∫

b a

|f（x）|dx=|∫

b a

f(x)dx|；
綜上，三者的關(guān)系是

∫

b a

|f(x)|dx≥

|∫

b a

f(x)dx|

≥∫

b a

f(x)dx．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等關(guān)系與不等式，考查了利用微積分基本定理求定積分，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)定積分的幾何意義的理解與掌握，此題是中檔題．