Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x+1（x＞0）
求證：（1）f（x）＞0
（2）對(duì)?n∈N*，若${x_n}{e^{{x_{n+1}}}}={e^{x_n}}-1$，x₁=1，求證：${x_n}＞{x_{n+1}}＞\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；
（2）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$，即可得到${x}_{n+1}＞\frac{1}{{2}^{n+1}}$，再結(jié)合${e}^{{x}_{n}}-1＜{x}_{n}{e}^{{x}_{n}}$，即可證明x_n+1＜x_n．

解答 證明：（1）∵f（x）=（x-1）e^x+1，
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
因此f（x）＞f（0）=0；
（2）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．
①當(dāng)n=1時(shí)，x₁=1＞$\frac{1}{2}$，∴x₁＞$\frac{1}{{2}^{1}}$成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，x_k＞$\frac{1}{{2}^{k}}$．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，${x_n}{e^{{x_{n+1}}}}={e^{x_n}}-1$，則${e}^{{x}_{k+1}}=\frac{{e}^{{x}_{k}}-1}{{x}_{k}}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，由不等式e^x-1＞x得$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1且g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵x_k＞$\frac{1}{{2}^{k}}$，
∴${e}^{{x}_{k+1}}=\frac{{e}^{{x}_{k}}-1}{{x}_{k}}$＞$\frac{{e}^{\frac{1}{{2}^{k}}}-1}{\frac{1}{{2}^{k}}}$＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
∴x_k+1＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
由①②可知，對(duì)任意的正整數(shù)n，總有x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$，則${x}_{n+1}＞\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
由（1）知（1-x_n）${e}^{{x}_{n}}-1$＜0，∴${e}^{{x}_{n}}-1$＜x_n${e}^{{x}_{n}}$．
由${x_n}{e^{{x_{n+1}}}}={e^{x_n}}-1$，知x_n+1＜x_n．
∴${x_n}＞{x_{n+1}}＞\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．