Question

若關(guān)于x的方程lnx-ax=0只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的范圍是

（-∞，0]∪{

1

e

}

．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的極值，討論極值情況，即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)f（x）=lnx-ax，定義域?yàn)椋?，+∞），則f'（x）=

1

x

-a=0，可得x=

1

a

當(dāng)a≤0，f'（x）＞0，最多有一個(gè)實(shí)根，因?yàn)閤＞0，且x→0時(shí)，f（x）＜0，f（1）≥0，所以（0，1]之間必有一個(gè)實(shí)根
a＞0，0＜x＜

1

a

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，x＞

1

a

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，f（

1

a

）=-lna-1為極大值，此極大值若為0的話，則有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)a=

1

e

此極大值若大于0的話，會(huì)有兩個(gè)實(shí)根，此極大值若小于0的話，則無實(shí)根．
因此a的取值范圍為：（-∞，0]∪{

1

e

}
故答案為：（-∞，0]∪{

1

e

}．

點(diǎn)評(píng)：本題利用導(dǎo)數(shù)解決方程根的個(gè)數(shù)問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．