Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，其中a₁=1．已知向量

a

=（2，a_n），

b

=（n+1，S_n）（n∈N^*），且存在常數(shù)λ，使

a

=λ

b

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與向量的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得2S_n=（n+1）a_n，由此求出

an+1

n+1

=

an

n

對任意的n∈N^*恒成立，從而得到a_n=n．
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），得a₁b₁+a₂b₂+…+a_n+1b_n+1=2+n•2ⁿ⁺²（n∈N^*），兩式相減，得an+1bn+1=(n+1)•2n+1，由此求出bn=2n（n∈N^*）．由此利用分組求和法能求出數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵存在常數(shù)λ，使

a

=λ

b

，∴

a

∥

b

，
∴2S_n=（n+1）a_n，①
∴2S_n+1=（n+2）a_n+1，②
②-①，得：2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
整理，得

an+1

n+1

=

an

n

對任意的n∈N^*恒成立，
∴{

an

n

}是常數(shù)列，∴

an

n

=

a1

1

=1，
∴a_n=n．
（2）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n+1b_n+1=2+n•2ⁿ⁺²（n∈N^*），
兩式相減，得an+1bn+1=(n+1)•2n+1，
由（1）知a_n+1=n+1，∴bn+1=2n+1，
∴b_n=2ⁿ，n≥2，
∵a₁b₁=2，∴b₁=2，
∴bn=2n（n∈N^*）．
∴T_n=（1+2+3+…+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

n(n+1)

2

+

2(1-2n)

1-2

=

n(n+1)

2

+2n+1-2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．