Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AP

=

c

．
（1）試用

a

，

b

，

c

表示出向量

BM

；
（2）求BM的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量加法法則，得

BM

=

1

2

(

BC

+

BP

)，再根據(jù)正方形ABCD中

AD

=

BC

，結(jié)合

BP

=

AP

-

AB

代入化簡即得用

a

，

b

，

c

表示向量

BM

的式子；
（2）由題意得

a

、

b

、

c

的模長分別為1、1、2，利用數(shù)量積公式結(jié)合題中角度算出

a

•

b

=0，

a

•

c

=

b

•

c

=1，代入

BM

2的表示式算出

BM

2=

3

2

，從而得到BM的長等于

6

2

．

解答：解：（1）∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴

BM

=

1

2

(

BC

+

BP

)
∵

AD

=

BC

，

BP

=

AP

-

AB

，∴

BM

=

1

2

[

AD

+(

AP

-

AB

)]
結(jié)合

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AP

=

c

，得

BM

═

1

2

[b+(c-a)]=-

1

2

a+

1

2

b+

1

2

c
（2）∵AB=AD=1，PA=2，∴

|a|

=

|b|

=1，

|c|

=2
∵AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°
∴

a

•

b

=0，

a

•

c

=

b

•

c

=2×1×cos60°=1
∵

BM

=-

1

2

a+

1

2

b+

1

2

c
∴

BM

2=

1

4

(-

1

2

a+

1

2

b+

1

2

c)2=

1

4

(

a

2+

b

2+

c

2-2

a

•

b

-2

a

•

c

+2

b

•

c

)
=

1

4

(1+1+4+0-2+2)=

3

2

∴

|BM|

=

BM 2

=

6

2

，即BM的長等于

6

2

．

點(diǎn)評：本題在四棱錐中用

a

、

b

、

c

表示出向量

BM

，并根據(jù)給出的數(shù)據(jù)求BM的長度．著重考查了向量的線性運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．