已知函數(shù)f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I） 當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
（ I）當a=1時，f（x）=（x2-2x+1）•e-x，
f'（x）=（2x-2）•e-x-（x2-2x+1）•e-x=-（x-1）（x-3）•e-x…（2分）
當x變化時，f（x），f'（x）的變化情況如下表：
x （-∞，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減
所以，當a=1時，函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=0，極大值為f（3）=4e-3．…（5分）
（ II）f'（x）=（2ax-2）•e-x-（ax2-2x+1）•e-x=-e-x[ax2-2ax-2x+3]
令g（x）=ax2-2（a+1）x+3
①若a=0，則g（x）=-2x+3，在（-1，1）內(nèi)，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減．…（7分）
②若a＞0，則g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=
a+1
a
＞1，
當且僅當g（1）≥0，即0＜a≤1時，在（-1，1）內(nèi)g（x）＞0，f'（x）＜0，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減．…（9分）
③若a＜0，則g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其圖象是開口向下的拋物線，
當且僅當
g(-1)≥0
g(1)≥0
，即-
5
3
≤a＜0時，在（-1，1）內(nèi)g（x）＞0，f'（x）＜0，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減．…（11分）
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減時，a的取值范圍是-
5
3
≤a≤1．…（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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