Question

已知點(diǎn)M，N分別在直線y=mx和y=-mx（m＞0）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，且|MN|=2，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C的方程，并討論方程所表示的曲線類型；
（2）設(shè)m=

2

2

時(shí)，過點(diǎn)A（-

2 6

3

，0）的直線l與曲線C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，且|MN|=2，可得曲線C的方程；對(duì)參數(shù)分類討論，即可得到所表示的曲線；
（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用過點(diǎn)A（-

2 6

3

，0）的直線l與曲線C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，可得判別式等于0，結(jié)論方程，即可求得直線l的斜率．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂），
依題意得

x1+x2=2x mx1-mx2=2y (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=22

，
消去x₁，x₂，整理得

x2

1 m2

+

y2

m2

=1，
當(dāng)m＞1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
當(dāng)m=1時(shí)，方程表示圓．
（2）當(dāng)m=

2

2

時(shí)，方程為

x2

2

+

y2

1 2

=1，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+

2 6

3

），與橢圓方程聯(lián)立

x2 2 + y2 1 2 =1 y=k(x+ 2 6 3 )

，
消去y得（1+4k²）x²+

16 6

3

k²x+

32k2

3

-2=0，
根據(jù)已知可得△=0，
故有（

16 6

3

k²）²-4（1+4k²）（

32k2

3

-2）=0，k²=

3

4

∴直線l的斜率為k=±

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查曲線與方程之間的聯(lián)系，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式求解．