Question

設(shè){a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{S_n-b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，數(shù)列{b_n}的公差為d，根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意建立關(guān)于q、d的方程組，解出q=2且d=4，即可得到數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，算出{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ-1，從而得到S_n-b_n=2ⁿ-4n+2，再利用等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式加以計(jì)算，即可得到數(shù)列{S_n-b_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式．
解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
∴q²+（1+4d）=21，q⁴+（1+2d）=25
解之得q=2，d=4（舍去負(fù)值）
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1，b_n=b₁+（n-1）d=4n-3
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1，{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=4n-3；
（2）由（1）得{a_n}的前n項(xiàng)和S_n==2ⁿ-1，
∴S_n-b_n=2ⁿ-1-（4n-3）=2ⁿ-4n+2
因此，{S_n-b_n}的前n項(xiàng)和為
T_n=（2¹-4×1+2）+（2²-4×2+2）+…+（2ⁿ-4×n+2）
=（2+2²+…+2ⁿ）-4（1+2+…+n）+2n
=2ⁿ⁺¹-2-4×+2n=2ⁿ⁺¹-2n²-2．
點(diǎn)評：本題給出等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足的條件，求它們的通項(xiàng)公式并依此求另一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和．著重考查了等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等知識(shí)，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．